Bibliothèque Diderot de Lyon

Rencontre avec Michaël Rao

Cycle de rencontres Sciences en résonance


Rencontre avec Michaël Rao,
chargé de recherche CNRS (LIP, ENS de Lyon)

L'art complexe des puzzles à une pièce


Jeudi 8 novembre 2018

13h
Bibliothèque du site monod
entrée libre

 

Rencontre animée par Étienne Ghys, directeur de recherche CNRS (UMPA, ENS de Lyon)

Quelles formes de pièces peuvent paver le plan, c'est-à-dire recouvrir une surface plane sans trous ni chevauchement, « façon puzzle » ? On s’intéressera à la complexité des pavages obtenus : en effet, dans certains cas, ceux-ci peuvent être uniquement non-périodiques.

Une question ouverte et complexe qui passionne des chercheurs est celle de l'existence d'une unique pièce qui pave uniquement de manière non-périodique. Cette question est ironiquement appelée celle d'« ein-stein » (de l'allemand « une pierre ») par les spécialistes.

Déjà, que sait-on du cas particulier des formes convexes ? C'est une question que s'était posé K. Reinhardt durant sa thèse en 1918, et qui vient tout juste d'être clôturée, après plusieurs rebondissements. Au final, il n'y a que 15 familles de pentagones et 3 familles d’hexagones qui peuvent paver le plan, et ce toujours d'une manière périodique. Une hypothétique tuile d'ein-stein serait donc forcément concave...

Consulter le diaporama de Michaël Rao diffusé lors de cette rencontre.

 

 

© Michaël RAO. Pavages pentagonaux

Chercheur à l'ENS de Lyon, Michaël Rao a obtenu le prix La Recherche 2018 dans la catégorie "Mathématiques" en démontrant qu'il n'y a que 15 types de pentagones convexes pavant le plan, clôturant ainsi la question laissée ouverte par Reinhardt en 1918.

Mathématiques : Il n'existe que 15 familles de pentagones convexes

La publication : Michaël Rao, arXiv:1708.00274 [math.CO], 2017.

Le résultat : Michaël Rao est récompensé pour son article où il est parvenu à montrer qu'il y a exactement 15 familles de pentagones convexes qui pavent le plan de manière périodique. Cette recherche de tous les polygones convexes pouvant paver un plan a été initié par Karl Reinhardt en 1918 qui a montré que tous les triangles, tous les quadrilatères et exactement trois types d'hexagones pavent le plan (aucun polygone convexe à sept côté ou plus ne pavent le plan).
Le cas des pentagones était ouvert. Entre 1918 et 2015, les mathématiciens ont découverts 15 familles de tels pentagones. Le tour de force de Michaël Rao a été de prouver qu'il n'en existe pas plus. Les techniques mises en œuvre pourraient en outre être appliquées à des problèmes plus délicats sur les pentagones non-convexes.
 

LIP : Laboratoire de l'informatique du parallélisme
UMPA : Unité de mathématiques pures et appliquées

Rencontre à la bibliothèque du site Monod
Michaël Rao et Étienne Ghys

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